Empezaremos nuestro recorrido con una adivinanza: voy a dar una serie de pistas para describir un personaje histórico y te animo a descubrir su identidad a lo largo de ellas.

Las pistas son las siguientes: divulgador matemático, escritor fecundo, responsable de una sección fija sobre matemática recreativa para una gaceta científica a lo largo de más de 25 años, pensador de la ciencia, creador de un movimiento incrédulo, mago apasionado, impulsor de vocaciones matemáticas.

Ni tan siquiera un cotizado buscador de internet precisa más datos para encontrar a Martin Gardner, uno de los héroes de juventud de multitud de adolescentes amantes de las matemáticas.

Entre la ingente cantidad de material que se amontona en sus obras podemos hallar inspiración para muchos artículos en esta sección, con lo que nos limitaremos a un caso muy apropiado para la actual situación. En el número de noviembre de 1967 de la sección «Mathematical Games» para la gaceta «Scientific American» salva un viejo inconveniente de 1958, conocido como el rompecabezas de Langford.

El inconveniente convocado por Gardner fue planteado por el matemático británico Dudley Langford en 1958 y se le ocurrió viendo jugar a su hijo con unos bloques de colores.

Conforme sus palabras,

Había 2 bloques de cada color y un día me percaté de que mi hijo los había amontonado de tal modo que había un solo bloque entre el par colorado, 2 entre el par verde y 3 entre el par azul. Entonces hallé que una redistribución completa dejaba agregar dos bloques amarillos con 4 bloques entre ellos.

Primeras soluciones del rompecabezas de Langford usando coloresTrabajando con números en lugar de colores, Langford propuso el inconveniente general:

Dado un conjunto con 2n números, del 1 al n repetidos un par de veces, se trata de ponerlos en una fila de tal modo que, entre cada 2 números iguales de valor k, haya precisamente k números.

El propio Langford descubrió otras soluciones con un número mayor de parejas, que publicó en la gaceta «Mathematical Gazette» en 1958. Curiosamente, las secuencias 312132 y 41312432 son las únicas soluciones (salvo sus simétricas) para 3 y 4 parejas, respectivamente. Existen métodos atractivos para edificar ordenamientos convenientes para todos y cada uno de los casos mas no dejan determinar el número de soluciones.

A lo largo del tiempo y merced a la potencia de cálculo de los ordenadores modernos, se conoce el número de soluciones de todos y cada uno de los casos hasta n = 30 (30 parejas de números). Realmente, este caso es fácil pues no tiene solución, como tampoco la tiene el caso n = 29. No obstante, para n = 28, se sabe desde 2015 que hay un total de 1.607.383.260.609.382.393.152 soluciones (más de mil trillones si bien ninguna de ellas tiene pinta de conseguirse «a pulso»). Aún no se ha encontrado una fórmula general que dé el número de soluciones para cualquier cantidad de números mas sí se han logrado fórmulas sorprendentes para ciertos valores. Una versión animada que muestra la complejidad del inconveniente, aun para casos fáciles, está efectuada por John Miller y puedes estimar en este link.

Logotipo de Google que “casi” se ajusta a la secuencia de Langford

Logotipo de MacTutor con los colores siguiendo la secuencia de Langford

Fuente: John Miller.
Puedes hallar una preciosa demostración elemental (no simple) de que solo hay soluciones cuando el número de parejas es múltiplo de 4 o bien una unidad menos de un múltiplo de 4 en el weblog DataGenetics. Un inconveniente afín que tiene solución para todos y cada uno de los valores de n consiste en agregar el número cero en la penúltima situación de la secuencia, famosa como sucesión de Langford «enganchada».

En 1966, Frank Gillespie y W. Utz definieron las sucesiones de Langford extendidas, usando más de 2 números iguales en todos y cada secuencia y preguntándose cuáles serían los casos que tenían solución. La presentación en sociedad de este inconveniente apareció en 1988 y fue descrita, de qué manera no, por Martin Gardner en el capítulo seis del libro «Time travel and other mathematical bewilderments» (traducido exactamente el mismo año bajo el título «Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas»). Así es como lo proponía Martin Gardner, clasificándolo como exageradamente difícil:

Saca las 27 cartas con valores del as al 9 de 3 de los palos de una baraja. El inconveniente consiste en poner todas y cada una de las cartas en una fila encima de la mesa con la próxima condición:

Para cualquier valor de k entre 1 y nueve, entre la primera y segunda cartas del mismo valor k debe haber precisamente k cartas y entre la segunda y tercera cartas del mismo valor k debe haber asimismo precisamente k cartas.

Así, entre el primer as y el segundo as debe haber solo una carta, entre el segundo as y el tercer as debe haber solo una carta; entre el primer 2 y el segundo 2 debe haber 2 cartas, entre el segundo 2 y el tercer 2 debe haber 2 cartas; etc.

Como se puede estimar, se trata del inconveniente de Langford usando ternas de cartas (o bien números) en vez de parejas. El ejemplo propuesto por Gardner es el más pequeño que tiene solución, en verdad solo tiene estas 3 soluciones:

1-nueve-1-dos-1-ocho-dos-cuatro-seis-dos-siete-nueve-cuatro-cinco-ocho-seis-tres-cuatro-siete-cinco-tres-nueve-seis-ocho-tres-cinco-siete

1-ocho-1-nueve-1-cinco-dos-seis-siete-dos-ocho-cinco-dos-nueve-seis-cuatro-siete-cinco-tres-ocho-cuatro-seis-tres-nueve-siete-cuatro-tres

1-nueve-1-seis-1-ocho-dos-cinco-siete-dos-seis-nueve-dos-cinco-ocho-cuatro-siete-seis-tres-cinco-cuatro-nueve-tres-ocho-siete-cuatro-tres

Curiosamente, semeja que no hay solución para 8 cartas, como verificaron D.P. Roselle y T.C. Thomasson Jr. en 1971 a través de programas informáticos, de tal modo que no cuenta como demostración. Para diez cartas hay 5 soluciones y no hay más soluciones con otros valores siempre y cuando se usen 3 palos de una baraja. Si alguien te plantea el inconveniente equivalente usando los 4 palos de la baraja y respetando exactamente las mismas reglas de separación entre parejas de valores iguales, no te esfuerces: no existe ninguna solución.

Hay otras muchas formas de sostener la distancia de seguridad entre números, con alteraciones de las secuencias acá descritas, como son las sucesiones de Skolem, estudiadas de forma independiente por el matemático sueco Thoralf Skolem, las sucesiones de Nickerson y las generalizaciones con ternas, cuaternas, etc., de números iguales, como las descritas. ¿Vamos a ser capaces de aplicar estos conocimientos matemáticos en la nueva redistribución de la sociedad y sus costumbres? Cuando menos, ciertos artistas se sienten inspirados por estas estructuras matemáticas, como el artista alemán Gerhard Hotter, que ha plasmado en ciertas de sus creaciones su particular visión de las sucesiones de Langford (puedes efectuar un recorrido virtual en esta galería).

Pedro Alegría. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática De España (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que brota de la cooperación con la Comisión de divulgación de la RSME.

Fuente: ABC.es

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *