Evariste Galois, la amarga historia del ‘enfant terrible’ del álgebra



«No llores, Alfred. Necesito mi valor para fallecer a los veinte años». Quien de esta manera charlaba, una noche de mayo de 1832, se disponía a conquistar el Olimpo de las mitologías como el vanguardista de una teoría llamada a revolucionar las matemáticas. Con ella, Evariste Galois había resuelto un inconveniente que traía en desequilibrio a la comunidad matemática desde hacía 2 siglos, mas el alcance de su enfoque sobrepasaría con mucho el propósito original.

Nuestra historia es, matemáticamente, de una belleza inusual, mas en todo lo demás se trata de uno de los capítulos más amargos de la historia de la ciencia. De hecho, una noche ya antes de dirigir esas palabras a su hermano, nuestro protagonista se preparaba para fallecer en un duelo a pistola. 3 cartas por testamento: una a sus correligionarios republicanos, otra a su amigo Auguste Chevalier, y otra a sus colegas de siglos futuros.

Semblanza trágica de un genio

Evariste Galois fue un hijo de su tiempo, el de los estertores de un Viejo Régimen reluctante a ceder el testigo a las fuerzas de la Ilustración. Y en el ojo del huracán, una turbamulta de desheredados, sin más ni más credo que la ira y la pólvora.

Nuestro héroe había natural de 1811 en Bourg-La-Reine, pequeña urbe en las afueras de la ciudad de París, dentro de una familia de pequeña y burguesa con simpatías napoleónicas. Educado por su madre hasta los 12 años, quien lo formó en latín, heleno y cultura tradicional, no está documentado que fuera un pequeño prodigio en matemáticas ni en ninguna otra materia. A lo largo de sus 2 primeros años en el Real Liceo Louis-le-Grand, sus resultados estuvieron lejos de ser refulgentes, e inclusive repitió tercer curso. Lo que sí se había ganado era una concida fama de pupilo heterodoxo y provocador.

Fue a los 15 años, cuando Evariste empezó a concretarse como lo que estaba llamado a ser llegando a dominar las matemáticas de secundaria y devorando con avidez la geometría de Legendre y el álgebra de Lagrange. Allá se encontró con un inconveniente que se remontaba a la antigüedad y que estaba entonces en la frontera de la investigación: el estudio de las condiciones en que una ecuación algebraica, esto es, definida a través de un polinomio, se puede solucionar utilizando solo sumas, restas, productos, cocientes y raíces de sus factores.

Procuró entrar en la Escuela Politécnica, orgulloso producto de la Revolución Francesa, meca científica europea y una de las primordiales cunas del jacobinismo. No obstante, suspendió un par de veces el examen de admisión por sus formas rebeldes. Poquitos días ya antes del segundo intento su padre se quitaba la vida.

De esta forma, debió conformarse con la menos reputada Escuela Preparatoria (futura Escuela Normal Superior), de la que sería expulsado al poco de reventar la revolución de 1830, que acabaría con la abdicación de Carlos X y la subida al trono de Luis Felipe de Orleáns.

Fue entonces, a los diecinueve años, cuando Galois completó su monumental ‘Memoria sobre la resolubilidad de las ecuaciones por radicales’, traducida al inglés en el apéndice del libro de H.M. Edwards ‘Galois Theory’.

En un primer envío a la Academia de Ciencias de la ciudad de París, Cauchy rechazará la memoria por estimar (y es cierto) que tenía ciertos puntos comunes con el trabajo de otro joven excelente y asimismo víctima de muerte tan trágica como prematura: el noruego Niels Henrik Abel, de quien Galois, según él mismo, «no conocía ni su existencia».

Segundo intento. Esta vez, Cauchy sí lo remitirá para análisis, mas Fourier, encargado de su publicación, muere ese año, y se pierde el manuscrito, siendo el trabajo de Abel el primero en ver la luz. Galois revienta en cólera y acusa a la Academia de una campaña de descrédito contra él. A tan lamentable episodio prosiguen 3 publicaciones de los fundamentos de su teoría en el Folleto de las Ciencias Matemáticas, Astronómicas, Físicas y Químicas.

En 1831 nos hallamos a un Galois que ha pisado la prisión y sin apoyos fuera del círculo revolucionario. Tercer envío a la Academia, esta vez por consejo de Poisson. Y tercer fracaso: irónicamente fue exactamente el mismo Poisson quien se lo rechazó, pensamos que, con formas muy urbanas y educadas, por una fácil razón: que mismo no era capaz de comprender ni una línea. No le culpamos.

Galois recibió la nueva cumpliendo condena por un delito de sublevación. Su memoria sería publicada a título póstumo en 1843, merced a Joseph Liouville.

Ecuaciones algebraicas: de la antigüedad al siglo XIX
En el último año de EGB (el día de hoy segundo de ESO) se enseñaba que la ecuación de segundo grado

(1)

acepta como soluciones

Este resultado fue descrito en el Siglo IX por el persa Al-Juarizmi y se fundamenta en el procedimiento de llenar cuadrados, por el que la ecuación (1) se convierte en una ecuación directa:

7 siglos después, Hierolamo Cardano y Nicolo Fontana, apodado Tartaglia debido a su tartamudez, abordaron la ecuación de tercer grado:

(dos)

cuyas soluciones, probaron, son:

En esta expresión, la raíz cúbica

se elige arbitrariamente (nótese que dado un número real o bien complejo no nulo siempre y en toda circunstancia existen 3 raíces cúbicas diferentes), y

se elige de tal forma que p=–3uv. Por poner un ejemplo, para la ecuación

se tiene

Con lo que tomando la raíz cúbica real

se consigue

Las otras soluciones se consiguen de tomar las otras 2 raíces cúbicas de

El cuarto grado
Semeja que fue Ludovico Ferrari, pupilo de Cardano, el primero en solucionar la cuártica:

(tres)

El procedimiento de Ferrari se fundamenta en reducir esta fórmula a 2 cúbicas, cuya solución estaba todavía en fase de «desarrollo», con lo que el resultado de Ferrari se publicó así como la solución de la cúbica dada por su profesor en su tratado ‘Ars Magna’ (1545). Hay que hacer apreciar que Cardano le había jurado a Tartaglia no publicar este resultado, que su autor tenía previsto incluir en un trabajo sobre la materia que preparaba. Reprima el lector su indignación: asimismo Tartaglia había publicado, haciendo pasar por suya, una traducción de Arquímedes que no era sino más bien una leve alteración de otra debida a Moerbeke (ver ‘A history of Mathematics’, C.B. Boyer, O bien.C. Merzbach. Pág. 255).

Volviendo al álgebra, el paso terminante en la solución de la cuártica lo dio Lagrange, a través de el empleo de la resolvente, que resumimos ahora. Dado un polinomio

A estas expresiones se les conoce como fórmulas de Cardano-Vieta y observamos que, si permutamos las raíces en cualquier orden, dichas expresiones se quedan invariantes. Son lo que se llama expresiones simétricas. De esta forma, el lector avispado podría meditar que para solucionar la ecuación (tres) basta despejar, por poner un ejemplo, la última raíz en la última fórmula de Cardano-Vieta, reemplazar en la penúltima, entonces en la anteúltima y de esta manera hasta la primera. Este enfoque, no obstante, está destinado al fracaso, cada vez que al final del proceso llegamos a una expresión de grado cuatro!=24 (el número de permutaciones de las cuatro raíces). La idea de Lagrange es la siguiente:

Consideremos los 24 números:

(seis)

Donde los subíndices (i, j, k, l) se mueven entre 1 y cuatro y donde la letra i que aparece como factor es la unidad imaginaria. La resolvente de Lagrange es el polinomio

(siete)

Donde la Pi mayúscula indica el producto. Si bien este polinomio tiene gado 24, utilizando las fórmulas de Cardano Vieta se puede expresar como producto de 2 polinomios de grado tres, mas evaluados en X4. Resolviendo estos últimos, hallamos los 24 valores u_i,j,k,l con lo que resolviendo (seis) conseguimos las raíces buscadas.

Tras este jalón, fue natural enfrentarse con el grado cinco. El primero en imaginar que no hay una fórmula general equivalente fue Paolo Ruffini en 1799 y el primero en probarlo fue Abel. Su enfoque se encuentra en la estructura del conjunto de permutaciones de cinco elementos, radicalmente diferente a los de cuatro, tres y dos elementos.

El trabajo de Galois
Familiarizado como estaba con la obra de Lagrange, Galois había llegado al mismo resultado que Abel, razón por la que Cauchy rechazó el manuscrito. Mas este contenía considerablemente más. Veámoslo.

Aunque no hay una fórmula general que exprese las soluciones de una ecuación de grado cinco o bien superior en concepto de los factores utilizando solo sumas, productos y radicales, eso no es obstáculo a fin de que ciertas ecuaciones particulares de grado superior sí se puedan solucionar por radicales. Puesto que bien, la memoria de Galois contiene asimismo la condición precisa y suficiente a fin de que, dada una ecuación particular, podamos decidir si esta es resoluble o bien no por radicales. Damos ahora ciertas pinceladas sobre su prueba.

Arranca la memoria con múltiples definiciones. Específicamente, dada una ecuación algebraica f(x)=0 de grado n, cuyos factores pueden ser números o bien letras (lo que cubre asimismo el caso de Abel), explica Galois lo que comprende por función racional de los factores, a saber, un factor del cuerpo K donde viven dichos factores. Vamos a suponer que K va a ser el cuerpo de números racionales.

Ahora, dado un radical b, raíz n-ésima de un número a, se considera el cuerpo K(b) formado por todos y cada uno de los cocientes de expresiones polinomiales en el radical b y con factores en K. A este cuerpo se le llama ampliación de K por adjunción del radical b. Llamemos F al cuerpo logrado anexando a K las soluciones de f(x)=0.

Si tras un número finito de adjunciones el cuerpo final llega a contener todas y cada una de las raíces de f afirmamos que f es resoluble por radicales.

Desde acá desarrolla Galois su enfoque, cuya idea clave es la noción de conjunto: un grupo es un conjunto sobre el que se ha definido una operación asociativa, con elemento neutro y tal que cada elemento tiene un inverso.

Galois solo considera el conjunto de todas y cada una permutaciones de n elementos con la operación de composición (la composición de 2 funciones f y g es la función que a todo x le asocia f(g(x))). Específicamente, Galois asocia a la ecuación f el conjunto S(f) tal que una función racional de las raíces lo es asimismo de los factores de f si y solo si queda invariante por S(f).

Ahora, prueba Galois que si p es primo, al anexar a K un radical b de grado p y las raíces p-ésimas de la unidad, asimismo se anexan de manera automática las otras raíces de su ecuación definidora. Nos referimos a esta propiedad diciendo que el cuerpo K(b) es extensión normal de K. De esta forma, si f es resoluble por radicales hay una sucesión de extensiones normales desde K hasta F de tal manera que cada eslabón tiene grado primo. A esta propiedad nos referimos diciendo que S(f) es un conjunto resoluble y es la idea central de su trabajo. Para mayor detalle remitimos al lector al anejo III del opúsculo «Gauss y el álgebra de su tiempo», de Ignacio Sols, en la serie de Historia de la Matemática en el Siglo XIX, de Real Academia de Ciencias Precisas, Físicas y Naturales.

Galois en las estrellas
Hemos dicho que la obra de Galois trasciende con mucho la teoría de ecuaciones algebraicas y de esta manera es: primeramente, su trabajo establece una correspondencia entre las extensiones algebraicas de K y algunos subgrupos de permutaciones. Es más, en el momento en que nos limitamos a las extensiones normales ya antes referidas, la correspondencia es biyectiva y puede verse como un diccionario entre el conjunto de dichas extensiones y el conjunto de los subgrupos del conjunto de Galois. Es tal vez el primer ejemplo de una equivalencia entre categorías matemáticas, que tan felices consecuencias tenía que tener.

Seguidamente, si bien Galois solo consideró conjuntos de permutaciones, la idea general de conjunto es el día de hoy omnipresente en matemáticas y hasta un punto en física teorética.

Asimismo la teoría algebraica de números y con ella la prueba de Taylor y Wiles (entre tantos otros nombres) del último teorema de Fermat serían impensables sin la aportación de Galois.

En lo que se refiere a aplicaciones «del planeta real» distintos sistemas de comunicaciones inalámbricas tienen en su base la teoría de Galois. Nos referimos, por poner un ejemplo, al código de Alamouti, o bien a los códigos Golden y Golden+ incluidos en el estándar IEEE Wimax 802.16e.

La Unión Astronómica Internacional bautizó un cráter lunar con el nombre del excelente francés. Descanse por fin en paz en el silencio de los astros y en la eternidad de su legado.

Iván Blanco Chacón es maestro y también estudioso en la Universidad de Alcalá de Henares.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que brota de la cooperación con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática De España (RSME).

Fuente: ABC.es

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *