El viernes pasado, a poco de mandar a la redacción de ABC la recensión sobre los rompecabezas secuenciales, recibí una llamada telefónica de una cadena de radio para dar mi parecer sobre una nueva que habían difundido diferentes medios de comunicación: la sospecha de irregularidad que había tenido sitio en Italia pues un ciudadano había ganado un par de veces en menos de 15 días un premio millonario en un concurso. Deseaban saber si hay razones serias de tipo matemático para meditar que esa situación es verdaderamente harto poco probable. Si bien creo que lo dejé bastante claro, las explicaciones justificadas en radio no son simples de trasmitir, y menos con la velocidad que se trabaja en tal medio, de forma que, pareciéndome además de esto un tema de interés, trataré de describirlas acá con más detalle.

Obviamente lo primero fue intentar conocer de qué género de juego se trataba, pues en Italia hay actuales muchos juegos diferentes. Conforme se había publicado, en un caso así era uno de los del tipo ‘rasca y gana’, en concreto el llamado ‘Nuovo Mega Miliardario’

(que viene a traducirse como Nuevo Mega Multimillonario; es curioso: desde su denominación trata de incitar a que te transformes en un agraciado ganador, mas si lo consigues, se pone en duda tu éxito y te estudian). Si uno entra en la página estatal de L’Agenzia delle Dogane y también dei Monopoli, ADM, (Agencia de Aduanas y Monopolios), observamos de qué manera todas y cada una estas actividades están perfecta y legalmente descritas (no podía ser de otra manera), y concretada la mecánica, los premios, el porcentaje de premio que queda para el Estado, de qué manera cobrar los premios, etc., etc., mas asimismo las probabilidades de ganancia, apartado que seguramente (jamás mejor dicho) los adeptos al juego no miran jamás.

La mecánica del juego es sencilla: se adquiere un billete como el que vemos en la imagen (por 10 €), y raspamos las 6 monedas que vemos. Son los números ganadores. Debajo aparecen 15 fajos de billetes que son los números con los que juegas. Si al descubrirlos, aparece ciertos números ganadores, tienes premio (si aparece múltiples veces, se marchan amontonando las ganancias). Bajo cada número aparece la cuantía del premio (10€, 20€, etc.). Si tienes la suerte de que en tus números aparece el llamado ‘número Jolly’, la sexta moneda que aparece distinguida de las otras 5, entonces multiplicas lo que ganes por diez. Además de esto, de manera adicional, si hallas entre tus números una herradura, de forma directa ganas 200 euros. En la parte superior, aparece una banda con la oración «más de ocho.000.000 de premios de más de 20€». Y en la parte inferior, «más de 600 millones (en color colorado) de euros en premios».

La parte trasera del billete es menos atrayente visualmente. En un severo blanco y gris, se señala de qué manera se pagan los premios, se muestra una tabla con las cantidades que se pueden ganar, aparece un código de barras que controla la autenticidad, se señala que es para mayores de 18 años, y se prosigue animando al personal con el eslogan «aún más hermoso, siempre y en toda circunstancia más rico». Hace referencia a que se trata de una nueva versión del juego, con más premios que la que hubo en un inicio. En verdad, hay otras 2 variaciones en activo, entre ellas, una versión para jugar por medio de móviles, sin precisar adquirir billetes en un establecimiento. En suma, todas y cada una de las comodidades del planeta para jugar (y perder dinero, obviamente; o bien ganarlo).

Un primer detalle para quien lo observa desde fuera y que no le atrae para nada el participar (esto es mi caso, el de alguien metódico y crítico) es el hecho de que los números ganadores son diferentes para cada billete, esto es, no es como la lotería, la primitiva, el euro millón, las quinielas, etc., en los que los números ganadores son exactamente los mismos para todos y son públicos, y todo el planeta observa de qué manera aparecen (en el caso de las quinielas, depende de los resultados de los partidos de futbol). Acá no, acá el billete se ha fabricado conforme al sistema que haya concebido el programador del computador que los compone. ¿Podrían fabricarlos sin premio alguno? Podrían, mas no lo harán para no tener inconvenientes legales, evidentemente. De ahí que el próximo paso es conocer datos de qué manera el número de billetes que tienen premio, o bien cuántos billetes se ponen en juego en conjunto.

En las bases legales del juego aparece toda esa información. En concreto que se fabrican 78.000.000 de billetes en conjunto (han leído bien, 78 millones, y pueden ser más, en tal caso, asimismo se acrecientan los premios proporcionalmente). Y aparece la próxima tabla:

Esto es, está estipulado el total de premios (controlados informáticamente a fin de que sean precisamente esos, lo que es una garantía de que el juego es justo, puesto que son datos públicos y conocidos). Vemos que, en conjunto, en todo el país, hay 10 billetes que tienen los dos millones de euros, 90 con 20.000 euros, etc. Se puede suponer, no lo señala por ningún lado, que conforme se marchan “gastando” los billetes, se marchan fabricando otros, con exactamente las mismas peculiaridades de los utilizados (a fin de que no cambie el número de premios), y a fin de que siempre y en toda circunstancia haya en juego esos 78 millones de billetes. Eso sí, el sitio donde se emitan va a ser diferente (probablemente azaroso, a fin de que los que tengan los dos millones de euros, por servirnos de un ejemplo, no estén siempre y en toda circunstancia en exactamente la misma urbe, zona, etc.).

Tenemos en consecuencia todos y cada uno de los datos para calcular las posibilidades de que nos toque algo. Recordemos que la probabilidad viene dada por el cociente

Esto nos da un valor entre 0 (acontencimiento imposible) y 1 (acontencimiento seguro). Cuanto más cerca estemos del 1, el juego es más conveniente (más posibilidades tenemos de ganar), y cuanto más distanciados estemos (más cercanos a 0 en consecuencia), el juego es más desfavorable (menos posibilidades tenemos de ganar).

En el reglamento del juego, y en el sitio web, asimismo tienen la gentileza de mostrarnos una tabla con las probabilidades ya calculadas de que ganemos algo:

Verifiquemos si están bien hechas las cuentas. Conforme a los datos, la probabilidad de que ganemos un premio de dos millones de euros, sería

En consecuencia, no nos engañan, es adecuado (pueden revisar el resto; todo es adecuado). Ahora bien, las posibilidades de que nos toque, como ven son bastante escasas. Por equiparar, la probabilidad de que te caiga un rayo habiendo una tormenta es del orden de 1 de cada tres.000.000, que es del orden de 3×10^(–7), baja, mas dos.3 veces más probable. Evidentemente se remarca en la publicidad que (¡¡hombre, no seas tan ambicioso!!) un billete de cada tres.17 es ganador y puede contener uno o bien más premios. Semeja que te afirman, de cada 3 billetes que adquieras, uno tiene premio, con lo que, cómpralos de 3 en 3 (esto es te gastas 30 euros, y como mucho lo más probable es que recobres 10 euros, que eso es ya ganar).

Mas el tema es que el ganador bajo sospecha ganó el primer millón de euros en un el cuatro de febrero, y otros un par de millones en otro billete del mismo tipo, el 24 de febrero. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra eso?

En cálculo de probabilidades se definen acontencimientos independientes cuando la probabilidad de que ocurra uno no está influida por la de que ocurra el otro. En resumen, cuando no tienen ninguna relación entre sí. Por servirnos de un ejemplo, tirar al aire una moneda y después un dado. O bien extraer una carta de una baraja, regresar a meterla en el mazo, barajar (sin hacer trampas), y regresar a sacar otra carta. En cambio, sacar una carta, no devolverla al mazo, y después sacar otra, son acontencimientos dependientes, pues la segunda carta no se saca en exactamente las mismas condiciones que la primera, al haber una carta menos. En el caso de los billetes de lotería, ganar o bien perder con el segundo billete es independiente de lo que haya sucedido en el primero, de forma que son acontencimientos independientes. Y cuando los acontencimientos son independientes, las probabilidades se multiplican.

En consecuencia, la probabilidad de ganar un par de veces un premio es el producto de las probabilidades de ganar cada uno de ellos de ellos. Si fuesen un par de millones cada vez, sería del orden de 10^(–7) x 10^(–7), esto es 10^(–14), 14 ceros, una posibilidad entre 100 billones. ¿Hay motivos para investigar la situación por la parte de la justicia? Evidentemente sí, si a ello agregamos además de esto que para adquirir el segundo billete se debió mover al norte del país. ¿Por qué razón allá? ¿Una corazonada? Seamos serios. El ir exactamente allá no es desde entonces un acontencimiento independiente del precedente. Y menos todavía, si anunciamos al banco que se fuesen preparando para percibir un tercer ingreso por otro billete en datas próximas (para ser tramposo, no solo hay que ser atrevido, sino más bien bastante inteligente, y poco boceras). Evidentemente, precisaríamos más datos y más cálculos para hacer una estimación más ajustada (la dada es una aproximación). Por servirnos de un ejemplo, el número de herraduras que hay, cuántos premios amontonados hay como máximo por billete, entre otras muchas cosas.

En cualquier caso, una vez vendidos los 78 millones de billetes, la colecta, a 10€ cada uno de ellos, sería de 780 millones de euros. La cuantía de los premios asciende a

10·2.000.000 + 90·20.000 + 420·10.000 + 19.500·1.000 + 68.250·500 + 520.000·200 + 487.500·100 + 910.000·50 + 10·25 + nueve.620.000·20 + 13.000.000·10 = 600.275.250 €

Esto es, la publicidad asimismo es correcta: son más de 600 millones de euros en premios. Ahora bien, ¿cuánto colecta el Estado? La cuenta es sencilla:

780.000.000 – 600.275.250 = 179.724.750

Prácticamente 180 millones de euros. Sin contar el dinero de los billetes premiados que están por ahí sin ser comprados, o bien se han perdido, o bien han desaparecido, o bien el tiempo que tarden en sustituir los billetes premiados, o bien el porcentaje de premio que se queda la hacienda pública. Y tengan presente que al lado de este juego cohabitan otros cuantos, de ganancias afines. En suma, lo que afirmé para iniciar en la radio: ningún juego de apuestas se proyecta a fin de que o bien ganemos. El que siempre y en toda circunstancia gana es el promotor (si no, no habría negocio). De hecho, alguien gana algunas veces. Mas las posibilidades de que seamos son bajísimas.

Y por último, la reflexión obvia. ¿Precisan los gobiernos freír a sus ciudadanos a impuestos? Evidentemente, no. Basta arrancar varios juegos de apuestas, y el ciudadano, con la cosa de «la ilusión», encima súper contento. ¿Va a ser asimismo por estas cosas por las que se proponen aislar a las matemáticas y diluirlas entre otras muchas «de cultura general»? En resumen, lo vamos a dejar, pues no deseo calentarme más. Concluyan .

Alfonso Jesús Población Sáez es maestro de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática De España (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que brota de la cooperación con la Comisión de Divulgación de la RSME.

Fuente: ABC.es

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